School

Център на масите - масовопретеглено средноаритметично на местоположенията на компонентите в дадена система

$${\vec{r}}_{\text{cm}}\stackrel{\text{def}}{=}\frac{\sum m_i{\vec{r}}_i}{\sum m_i}$$

а) твърди тела с постоянна плътност

• ако тялото има геометричен център, центърът на масите съвпада с него
• ако тялото има ос на симетрия, центърът на масите се намира върху нея

Скорост на центъра на масите - скоростта на центъра на масите е общият импулс на системата върху общата маса

$$M{\vec{v}}_{\text{cm}}=\vec{P}$$

Доказателство:

$${\vec{v}}_{\text{cm}}=\frac{d}{dt}{\vec{r}}_{\text{cm}}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i\frac{d{\vec{r}}_i}{dt}}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\vec{v}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{\sum _{i=1}^n{\vec{p}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{1}{M}\vec{P}$$

Ускорение на центъра на масите - ускорението на центъра на масите е равно на сбора от външните сили върху общата маса на системата

$$M{\vec{a}}_{\text{cm}}=\sum {\vec{F}}_{\text{ext}}$$

Доказателство:

$$M{\vec{v}}_{\text{cm}}=\sum _{i=1}^n{m}_i{\vec{v}}_i$$

$$M\frac{d}{dt}{\vec{v}}_{\text{cm}}=\sum _{i=1}^n{m}_i\frac{d{\vec{v}}_i}{dt}$$

$$M{\vec{a}}_{\text{cm}}=\sum _{i=1}^n{m}_i{\vec{a}}_i=\sum _{i=1}^n{\vec{F}}_i$$

Силите, възникващи между самите тела се унищават в сумата и остават само силите ${\vec{F}}_i$, които са външни за системата.